যদি y=log(ax+b) হয়, তবে  y_n এর মান কত?

Explanation:

Another Explanation (5): y = log(ax + b) হলে, \(y_n\) এর মান নির্ণয়: প্রথমে প্রথম কয়েকটি অন্তরজ নির্ণয় করি: \(y_1 = \frac{d}{dx} \log(ax + b) = \frac{a}{ax + b}\) 🚀 \(y_2 = \frac{d}{dx} \left(\frac{a}{ax + b}\right) = \frac{-a^2}{(ax + b)^2}\) 🧐 \(y_3 = \frac{d}{dx} \left(\frac{-a^2}{(ax + b)^2}\right) = \frac{2a^3}{(ax + b)^3}\) 🎉 \(y_4 = \frac{d}{dx} \left(\frac{2a^3}{(ax + b)^3}\right) = \frac{-6a^4}{(ax + b)^4}\) 🤩 এখন, \(y_n\) এর সাধারণ রূপ অনুমান করা যাক: \(y_n = \frac{(-1)^{n-1} (n-1)! a^n}{(ax + b)^n}\) 🥳 গাণিতিক আরোহ (Mathematical Induction) ব্যবহার করে প্রমাণ: বেস কেস (Base Case): n = 1 এর জন্য, \(y_1 = \frac{(-1)^{1-1} (1-1)! a^1}{(ax + b)^1} = \frac{a}{ax + b}\), যা সঠিক। অনুমান (Inductive Hypothesis): ধরি \(n = k\) এর জন্য এটি সত্য। \(y_k = \frac{(-1)^{k-1} (k-1)! a^k}{(ax + b)^k}\) আরোহী ধাপ (Inductive Step): \(n = k + 1\) এর জন্য প্রমাণ করতে হবে: \(y_{k+1} = \frac{(-1)^{k} k! a^{k+1}}{(ax + b)^{k+1}}\) \(y_{k+1} = \frac{d}{dx} y_k = \frac{d}{dx} \left(\frac{(-1)^{k-1} (k-1)! a^k}{(ax + b)^k}\right)\) \(y_{k+1} = (-1)^{k-1} (k-1)! a^k \frac{d}{dx} (ax + b)^{-k}\) \(y_{k+1} = (-1)^{k-1} (k-1)! a^k (-k) (ax + b)^{-k-1} a\) \(y_{k+1} = \frac{(-1)^{k} k! a^{k+1}}{(ax + b)^{k+1}}\) সুতরাং, গাণিতিক আরোহ দ্বারা প্রমাণিত যে: \(y_n = \frac{(-1)^{n-1} (n-1)! a^n}{(ax + b)^n}\) 😎