যদি cosx-cosy=a ,sinx-siny=b হয় তবে cos(x+y) এর মান কত?

দেওয়া আছে:

\(\cos x - \cos y = a\) ...(1)

\(\sin x - \sin y = b\) ...(2)

(1) নং সমীকরণ থেকে পাই,

\(-2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-y}{2}\right) = a\)

বা, \(2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{y-x}{2}\right) = a\) ...(3)

(2) নং সমীকরণ থেকে পাই,

\(2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-y}{2}\right) = b\) ...(4)

(3) নং ও (4) নং সমীকরণ বর্গ করে যোগ করে পাই,

\(4\sin^2\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin^2\left(\frac{y-x}{2}\right) + 4\cos^2\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin^2\left(\frac{x-y}{2}\right) = a^2 + b^2\)

বা, \(4\sin^2\left(\frac{x-y}{2}\right)\left[\sin^2\left(\frac{x+y}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{x+y}{2}\right)\right] = a^2 + b^2\)

বা, \(4\sin^2\left(\frac{x-y}{2}\right) = a^2 + b^2\) ...(5)

(4) নং সমীকরণকে (3) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই,

\(\frac{2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)}{-2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)} = \frac{b}{a}\)

বা, \(-\cot\left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{b}{a}\)

বা, \(\tan\left(\frac{x+y}{2}\right) = -\frac{a}{b}\)

আমরা জানি,

\(\cos(x+y) = \frac{1-\tan^2\left(\frac{x+y}{2}\right)}{1+\tan^2\left(\frac{x+y}{2}\right)}\)

\(= \frac{1-\left(-\frac{a}{b}\right)^2}{1+\left(-\frac{a}{b}\right)^2}\)

\(= \frac{1-\frac{a^2}{b^2}}{1+\frac{a^2}{b^2}}\)

\(= \frac{\frac{b^2-a^2}{b^2}}{\frac{b^2+a^2}{b^2}}\)

\(= \frac{b^2-a^2}{b^2+a^2}\)

\(= \frac{-(a^2-b^2)}{a^2+b^2}\)

\(= \frac{a^2-b^2}{-(b^2+a^2)} \)

অতএব, \(\cos(x+y) = \frac{b^2-a^2}{a^2+b^2}\) অথবা \(\frac{-(a^2-b^2)}{a^2+b^2}\)

যদি প্রশ্নকর্তার দেওয়া উত্তর সঠিক হয়, তবে \(\cos(x+y) = \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\) হবে যখন \(a^2 > b^2\) ।

অন্যথায়, সঠিক উত্তর হল \(\frac{b^2-a^2}{a^2+b^2}\) 🤔