একটি বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাংক \( (4,a) \) ও পোলার স্থানাংক \( (5,b) \) হলে বিন্দু থেকে x অক্ষের উপর লম্বের দৈঘ্য কত?

প্রশ্ন অনুযায়ী, একটি বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \( (4, a) \) ও পোলার স্থানাঙ্ক \( (5, b) \) দিলে, বিন্দু থেকে x-অক্ষের উপর লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

প্রথমে, কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক থেকে পোলার স্থানাঙ্কে রূপান্তর করি:

• কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক: \( (x, y) = (4, a) \)
• পোলার স্থানাঙ্ক: \( (r, \theta) = (5, b) \)

কার্তেসীয় থেকে পোলার রূপান্তর সূত্র: \[ r = \sqrt{x^2 + y^2} \] \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) \] প্রথমে, \( r = 5 \) এবং \( (x, y) = (4, a) \) এর জন্য: \[ r = \sqrt{4^2 + a^2} = 5 \] অর্থাৎ, \[ 16 + a^2 = 25 \] \[ a^2 = 9 \] অতএব, \[ a = \pm 3 \] দ্বিতীয়ত, গুণফল বা অন্য কোন প্রয়োজন নেই কারণ, আমরা শুধুমাত্র লম্বের দৈর্ঘ্য জানতে চাই। লম্বের দৈর্ঘ্য, অর্থাৎ, বিন্দু থেকে x-অক্ষের উপর লম্বের দূরত্ব, হলে: যেহেতু বিন্দু \( (4, a) \), তাহলে x-অক্ষের উপর লম্বের অক্ষাংশের বিন্দু হবে \( (4, 0) \) বা \( (x, 0) \) যেখানে \( x \) হল x-অক্ষের উপর বিন্দুর x-স্থানাঙ্ক। অতএব, লম্বের দৈর্ঘ্য = \(|a - 0| = |a|\)। উপরে, \( a = \pm 3 \), তাই, \[ \text{লম্বের দৈর্ঘ্য} = |a| = 3 \] সুতরাং, উত্তর হলো: 3