y=e^x হলে, y₄ কত ?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: যদি \( y = e^{x} \) হয়, তাহলে \( y_{4} \) কত?

সমাধান:

প্রথমে, ধরা যাক \( y = e^{x} \)।

তাহলে, এটি একটি স্বয়ংক্রিয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ যেখানে:

\[ \frac{dy}{dx} = y \]

অর্থাৎ:

\[ \frac{dy}{dx} = e^{x} \]

এটি সাধারণ সমাধান:

\[ \frac{dy}{dx} = y \Rightarrow \frac{dy}{y} = dx \]

উভয় পাশে ইন্টিগ্রেট করলে:

\[ \int \frac{1}{y} dy = \int dx \] \[ \ln | y | = x + C \]

অথবা:

\[ y = e^{x + C} = e^{C} e^{x} = K e^{x} \]

এখানে, \( K = e^{C} \) একটি ধ্রুবক।

তাই, সমাধান হল:

\[ y = K e^{x} \]

প্রশ্নে \( y = e^{x} \) দেওয়া হয়েছে, যেখানে \( K = 1 \)।

তাহলে, \( y_{4} \) মানে কি?

যদি অর্থ হয়, \( y \) এর 4 তম ডেরিভেটিভ, তাহলে:

\[ y = e^{x} \] \[ \frac{dy}{dx} = e^{x} \] \[ \frac{d^{2} y}{dx^{2}} = e^{x} \] \[ \frac{d^{3} y}{dx^{3}} = e^{x} \] \[ \frac{d^{4} y}{dx^{4}} = e^{x} \]

অর্থাৎ,

\[ \boxed{ y_{4} = \frac{d^{4} y}{dx^{4}} = e^{x} } \]

উত্তরঃ \( y_{4} = e^{x} \)