স্বরবর্ণগুলিকে কোন সময়ই পৃথক না রেখে 'daughter' শব্দটির সবকটি বর্ণকে যত বিভিন্ন প্রকারে সাজানো যায় তা হলো-

ধাপ ১: 'daughter' শব্দটিতে স্বরবর্ণ (vowel) এবং ব্যঞ্জনবর্ণ (consonant) গুলোকে আলাদা করি।

স্বরবর্ণ: a, u, e

ব্যঞ্জনবর্ণ: d, g, h, t, r

সুতরাং, \( n(Vowels) = 3 \) এবং \( n(Consonants) = 5 \).

ধাপ ২: প্রথমে ব্যঞ্জনবর্ণগুলোকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় যতভাবে, তা বের করি। ৫টি ব্যঞ্জনবর্ণকে 5! উপায়ে সাজানো যায়।

\( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)

ধাপ ৩: এখন স্বরবর্ণগুলোকে বসানোর জন্য স্থান নির্বাচন করতে হবে। ৫টি ব্যঞ্জনবর্ণের মাঝে ৬টি স্থান আছে, যেখানে স্বরবর্ণগুলো বসতে পারে ( _ d _ g _ h _ t _ r _ )। যেহেতু স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রাখতে হবে, তাই আমরা এদেরকে একটি একক বর্ণ হিসেবে বিবেচনা করতে পারি।

ধাপ ৪: এই ৩টি স্বরবর্ণকে একটি একক বর্ণ হিসেবে ধরলে, সেটি ব্যঞ্জনবর্ণের সাথে বিভিন্ন স্থানে বসতে পারে। এক্ষেত্রে ৬টি স্থানের মধ্যে যেকোনো ১টি স্থান বেছে নিতে হবে। তাই এটি \( ^6C_1 \) বা 6 ভাবে করা যায়।

ধাপ ৫: ৩টি স্বরবর্ণ নিজেদের মধ্যে 3! উপায়ে সাজানো যায়।

\( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)

ধাপ ৬: সুতরাং, নির্ণেয় মোট সংখ্যা হলো:

\( 5! \times 6 \times 3! = 120 \times 6 \times 6 = 4320 \)

অতএব, স্বরবর্ণগুলিকে কোন সময়ই পৃথক না রেখে 'daughter' শব্দটির সবকটি বর্ণকে 4320 টি বিভিন্ন প্রকারে সাজানো যায়। 🎉