y=1/(x+a) হলে yn এর মান কত ?
((-1)^n(n!))/(x+a)^(n+1)
প্রশ্নটি হলো: যদি \( y = \frac{1}{x + a} \) হয়, তাহলে এর ন্যূনতম মান \( y_n \) কত হবে?
উত্তরটি খুঁজতে, আমরা প্রথমে \( y \) এর টেইলর সিরিজ বা ম্যাকলোরিন সিরিজের উপস্থাপনাটি বিবেচনা করব।
সাধারণত, যদি আমাদের কোন ফাংশন \( f(x) \) এর জন্য, আমরা তার একটি নির্দিষ্ট বিন্দু \( x_0 \) এর চারপাশে টেইলর সিরিজ লিখতে চাই, তাহলে:
\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n \]এখানে, আমাদের \( f(x) = \frac{1}{x + a} \)। আমরা \( x_0 = 0 \) নিয়ে কাজ করব।
প্রথমে, \( f \) এর ডেরিভেটিভসমূহ নির্ণয় করি:
\[ f(x) = (x + a)^{-1} \] \[ f'(x) = -1 \times (x + a)^{-2} = - \frac{1}{(x + a)^2} \] \[ f''(x) = 2 \times (x + a)^{-3} = 2! / (x + a)^3 \] \[ f^{(n)}(x) = (-1)^n \times n! / (x + a)^{n+1} \]অতএব, যখন \( x_0 = 0 \), তখন:
\[ f^{(n)}(0) = (-1)^n \times n! / a^{n+1} \]সুতরাং, \( f(x) \) এর টেইলর সিরিজ হবে:
\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \times n! / a^{n+1}}{n!} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{a^{n+1}} x^n \]এখানে, সোজাসাপ্টা রূপে লিখলে:
\[ f(x) = \frac{1}{a} \sum_{n=0}^{\infty} \left( - \frac{x}{a} \right)^n \]এটি একটি জ্যামিতি সিরিজ, যেখানে রাশিফল:
\[ f(x) = \frac{1}{a} \times \frac{1}{1 + \frac{x}{a}} = \frac{1}{a + x} \]অর্থাৎ, এটি মূল ফাংশনের টেইলর সিরিজ।
এখন, \( y \) এর জন্য, যেখানে \( y = \frac{1}{x + a} \), এর ন্যূনতম মান \( y_n \) বলতে বোঝায় সিরিজের সাধারণ টার্মের মান বা \( n \)-তম ডেরিভেটিভের মান।
সুতরাং, \( y_n \) এর মান হবে:
\[ y_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \times (x)^n = \frac{(-1)^n \times n! / a^{n+1}}{n!} \times x^n = \frac{(-1)^n}{a^{n+1}} x^n \]অর্থাৎ, মূল প্রশ্নের জন্য, যদি আমরা সাধারণত সিরিজের প্রতিটি টার্মের মান বলতে চাই, তাহলে:
\[ \boxed{ y_n = \frac{(-1)^n}{a^{n+1}} } \]এখানে, \( y_n \) বোঝায় \( n \)-তম ডেরিভেটিভের মান বা সিরিজের প্রতিটি টার্মের মান।