|(0,1,ω),(1,ω,ω^2),(ω,1,ω^2)| এর মান কত?

Another Explanation (5):

সমাধান:

আমরা প্রদত্ত ডিটারমিন্যান্টটি হলো: \[ \left| \begin{bmatrix} 0 & 1 & \omega \\ 1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & 1 & \omega^2 \end{bmatrix} \right| \] এখন, ডিটারমিন্যান্টের মান নির্ণয় করি: \[ \det = 0 \cdot \begin{vmatrix} \omega & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & \omega^2 \\ \omega & \omega^2 \end{vmatrix} + \omega \cdot \begin{vmatrix} 1 & \omega \\ \omega & 1 \end{vmatrix} \] প্রতিটি 2x2 ডিটারমিন্যান্ট হিসাব করি: 1. \(\begin{vmatrix} \omega & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 \end{vmatrix} = \omega \cdot \omega^2 - \omega^2 \cdot 1 = \omega \omega^2 - \omega^2 = \omega^3 - \omega^2\) 2. \(\begin{vmatrix} 1 & \omega^2 \\ \omega & \omega^2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \omega^2 - \omega^2 \cdot \omega = \omega^2 - \omega^3\) 3. \(\begin{vmatrix} 1 & \omega \\ \omega & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - \omega \cdot \omega = 1 - \omega^2\) এখন, ডিটারমিন্যান্টের মান হল: \[ \det = 0 \cdot (\omega^3 - \omega^2) - 1 \cdot (\omega^2 - \omega^3) + \omega \cdot (1 - \omega^2) \] সরলীকরণ করি: \[ \det = - (\omega^2 - \omega^3) + \omega (1 - \omega^2) \] \[ = - \omega^2 + \omega^3 + \omega - \omega^3 \] \[ = - \omega^2 + \cancel{\omega^3} + \omega - \cancel{\omega^3} \] অতএব, \[ \det = \omega - \omega^2 \] **অতএব,** প্রদত্ত ডিটারমিন্যান্টের মান হলো: \[ \boxed{\omega - \omega^2} \]