k  এর মান কত হলে 3x+4y=k রেখাটি  x^2+ y^2=10x বৃত্তকে স্পর্শ করবে?

Explanation:

Another Explanation (5): k এর মান নির্ণয় করার জন্য, প্রথমে \(3x + 4y = k\) রেখাটিকে \(x^2 + y^2 = 10x\) বৃত্তের স্পর্শক হওয়ার শর্ত জানতে হবে। বৃত্তের সমীকরণ: \(x^2 + y^2 = 10x\) ⇒ \(x^2 - 10x + y^2 = 0\) ⇒ \((x - 5)^2 + y^2 = 5^2\) সুতরাং, বৃত্তের কেন্দ্র \(C(5, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r = 5\). রেখার সমীকরণ: \(3x + 4y = k\) ⇒ \(3x + 4y - k = 0\) বৃত্তের কেন্দ্র থেকে রেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হলে, রেখাটি বৃত্তকে স্পর্শ করবে। লম্ব দূরত্ব, \(d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\) এখানে, \(A = 3\), \(B = 4\), \(C = -k\), \((x_1, y_1) = (5, 0)\) \(d = \frac{|3 \cdot 5 + 4 \cdot 0 - k|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\) ⇒ \(5 = \frac{|15 - k|}{\sqrt{9 + 16}}\) ⇒ \(5 = \frac{|15 - k|}{\sqrt{25}}\) ⇒ \(5 = \frac{|15 - k|}{5}\) ⇒ \(25 = |15 - k|\) এখন, \(|15 - k|\) এর দুইটি মান হতে পারে: ১) \(15 - k = 25\) ⇒ \(k = 15 - 25\) ⇒ \(k = -10\) ২) \(15 - k = -25\) ⇒ \(k = 15 + 25\) ⇒ \(k = 40\) সুতরাং, k এর মান \(-10\) অথবা \(40\). 🎉