যদি f(x)=(x+5)/(2x+a) এবং f(x)=f^-1(x) হয় তবে a=?

দেওয়া আছে, \(f(x) = \frac{x+5}{2x+a}\) এবং \(f(x) = f^{-1}(x)\).

??েহেতু \(f(x) = f^{-1}(x)\), তাই \(f(f(x)) = x\) হবে। 🥳

সুতরাং, \(f(f(x)) = f\left(\frac{x+5}{2x+a}\right) = \frac{\frac{x+5}{2x+a} + 5}{2\cdot\frac{x+5}{2x+a} + a} = x\). 🤩

এখন, \(\frac{\frac{x+5}{2x+a} + 5}{2\cdot\frac{x+5}{2x+a} + a} = \frac{\frac{x+5 + 5(2x+a)}{2x+a}}{\frac{2(x+5) + a(2x+a)}{2x+a}} = \frac{x+5+10x+5a}{2x+10+2ax+a^2} = \frac{11x+5+5a}{(2+2a)x + 10+a^2} = x\). 🤔

তাহলে, \(11x+5+5a = x((2+2a)x + 10+a^2) = (2+2a)x^2 + (10+a^2)x\). 🤓

উভয় দিকে তুলনা করে পাই, \(2+2a = 0\) এবং \(10+a^2 = 11\) এবং \(5+5a = 0\). 🥰

প্রথম সমীকরণ থেকে, \(2a = -2 \implies a = -1\). 🥳

দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে, \(a^2 = 1 \implies a = \pm 1\).

তৃতীয় সমীকরণ থেকে, \(5a = -5 \implies a = -1\).

সুতরাং, \(a = -1\). 🎉