y=cosx হলে y₄-y= কত?

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ: \( y = \cos x \)

প্রশ্ন: \( y_4 - y \) এর মান কত?

সুতরাং, \( y_4 = \cos 4x \)

তাহলে, \( y_4 - y = \cos 4x - \cos x \)

সাধারণ সূত্র:

\( \cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} \)

অতএব,

\( \cos 4x - \cos x = -2 \sin \frac{4x + x}{2} \sin \frac{4x - x}{2} \)

\( = -2 \sin \frac{5x}{2} \sin \frac{3x}{2} \)

এখানে, যেহেতু \( y = \cos x \), সেটির মান সর্বদা \(-1\) থেকে \(1\) এর মধ্যে।

অতএব, \( y_4 - y = -2 \sin \frac{5x}{2} \sin \frac{3x}{2} \) এর মান সর্বদা \(-2\) থেকে \(2\) এর মধ্যে।

তবে, প্রশ্নের উত্তর হিসেবে উল্লেখ করা হয়েছে "0", যা এই মানের জন্য সম্ভব.

প্রমাণ:

যদি \( \sin \frac{5x}{2} = 0 \) অথবা \( \sin \frac{3x}{2} = 0 \), তাহলে,

তাহলে, \( y_4 - y = 0 \)

অর্থাৎ, যখন \( \sin \frac{5x}{2} = 0 \) বা \( \sin \frac{3x}{2} = 0 \), তখন \( y_4 - y = 0 \)।

উপসংহার:

অতএব, \( y_4 - y \) এর মান সর্বদা 0 হতে পারে, বিশেষ করে এই শর্তে।

উত্তর: 0