x=a বিন্দুতে f(x) ফাংশনের গরি???্ঠ বা লঘিষ্ঠ মান থাকার প্রয়োজনীয় শর্ত কি?

প্রশ্ন:

x = a বিন্দুতে f(x) ফাংশনের গরিষ্ঠ বা লঘিষ্ঠ মান থাকার প্রয়োজনীয় শর্ত কি?

উত্তর:

একটি ফাংশনের গরিষ্ঠ বা লঘিষ্ঠ মান (অপটিমাম) পাওয়ার জন্য, প্রাথমিক শর্ত হিসেবে বলা হয় যে, সেটি যে বিন্দুতে গরিষ্ঠ বা লঘিষ্ঠ মান অর্জন করছে, সেই বিন্দুতে f এর ডেরিভেটিভ অবশ্যই শূন্য বা অনুপস্থিত হতে পারে।

অর্থাৎ, যদি f একটি ডিফারেনশিয়েবল ফাংশন হয় এবং a বিন্দুতে গরিষ্ঠ বা লঘিষ্ঠ মান থাকে, তবে তার জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত হলো:

f'(a) = 0

এটি 'প্রয়োজনীয় শর্ত' হিসেবে পরিচিত।

বিস্তারিত ব্যাখ্যা:

ধরি, f একটি ডেরিভেটিভেবল ফাংশন এবং a বিন্দুতে গরিষ্ঠ বা লঘিষ্ঠ মান রয়েছে। তাহলে, যদি f এই বিন্দুতে ডেরিভেটিভ হয়, তবে:

f'(a) = 0

অথবা, যদি f ওই বিন্দুতে ডেরিভেটিভ না-ও করে, তবুও গরিষ্ঠ বা লঘিষ্ঠ মান থাকতে পারে। তবে, ডেরিভেটিভ থাকলে, এই শর্ত প্রযোজ্য।

উপসংহার:

সুতরাং, x = a বিন্দুতে f(x) এর গরিষ্ঠ বা লঘিষ্ঠ মান থাকার জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত হলো:

f'(a) = 0

অর্থাৎ, a বিন্দুতে f এর ডেরিভেটিভ শূন্য বা অনুপস্থিত হতে পারে।